+ Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:

AH: cạnh chung

HB = HC (gt)

Do đó, $\Delta ABH = \Delta ACH$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC.   (1)

Do đó, tam giác ABC cân tại đỉnh A.

$=>\widehat{C}=\widehat{B}=\widehat{ABH}=60^{\circ}$

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác).

Suy ra $\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{BAC}$, do đó tam giác ABC cân tại đỉnh C nên AC = BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC.

Do đó, $\Delta $ABC đều.

+ Vì H thuộc BC và điểm H nằm giữa điểm B và điểm C, hơn nữa HB = HC, do đó H là trung điểm của BC.

Suy ra BH=$\frac{BC}{2}$

Mà BC = AB (chứng minh trên).

Vậy BH = $\frac{AB}{2}$