a. Tam thức bậc hai $2 x^{2}+3 x+1$ có hai nghiệm $x_{1}=-1, x_{2}=\frac{-1}{2}$ và có hệ số $a=2>0$.
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $2 x^{2}+3 x+1$ mang dấu " $+$" là $\left(-\infty ; -1\right) \cup(\frac{-1}{2};+\infty)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2 x^{2}+3 x+1 \geq 0$ là $\left(-\infty ; -1\right] \cup (\frac{-1}{2};+\infty]$.
b. Tam thức bậc hai $-3 x^{2}+x+1$ có hai nghiệm $x_{1}=\frac{1-\sqrt{13}}{6}, x_{2}=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$ và có hệ số $a=-3<0$.
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $-3 x^{2}+x+1$ mang dấu " $+$" là $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6} ; \frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-3 x^{2}+x+1>0$ là $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6} ; \frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)$.
c. Tam thức bậc hai $4 x^{2}+4 x+1$ có $\Delta=0$, hệ số $a=4>0$ nên $f(x)>0$ với $\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{\frac{-1}{2}\}$
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $4 x^{2}+4 x+1$ mang dấu " $+$" là $\mathbb{R} \setminus \{\frac{-1}{2}\}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $4 x^{2}+4 x+1 \geq 0$ là $\mathbb{R}$.
d. Tam thức bậc hai $-16 x^{2}+8 x-1$ có $\Delta=0$, hệ số $a=-16<0$ nên $f(x)>0$ với $\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{4}\}$
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $-16 x^{2}+8 x-1$ mang dấu " $-$" là $\mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{4}\}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-16 x^{2}+8 x-1<0$ là $\mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{4}\}$.
e. Tam thức bậc hai $2 x^{2}+x+3$ có $\Delta<0$, hệ số $a=2>0$ nên $f(x)>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $2 x^{2}+x+3$ mang dấu " $-$" là $\emptyset$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2 x^{2}+x+3<0$ là $\emptyset$.
g. Tam thức bậc hai $-3 x^{2}+4 x-5$ có $\Delta<0$, hệ số $a=-3<0$ nên $f(x)<0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $-3 x^{2}+4 x-5$ mang dấu " $-$" là $\mathbb{R} $.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-3 x^{2}+4 x-5<0$ là $\mathbb{R} $.