Giải câu 10 bài tập cuối chương V

Giải bài tập cuối chương V trang 102

Qua M kẻ đường thẳng IK // AB, NP // AC, QS // BC (K, P $\in$ BC; N, Q $\in$ AB; I, S $\in$ AC).

Ta có: MK // AB $\Rightarrow$ $\hat{M K P}$ = $60^{\circ}$

MP // AC $\Rightarrow$ $\hat{M P K}$ = $60^{\circ}$

$\Rightarrow$ $Δ$ MKP đều mà MD là đường cao nên MD đồng thời là đường trung tuyến của $Δ$ MKP.

$\Rightarrow$ $\vec{M K}$ + $\vec{M P}$ = 2 $\vec{M D}$

Chứng minh tương tự, ta có: $\vec{M N}$ + $\vec{M Q}$ = 2 $\vec{M F}$ ; $\vec{M I}$ + $\vec{M S}$ = 2 $\vec{M F}$

$\Rightarrow$ 2( $\vec{M D}$ + $\vec{M E}$ + $\vec{M F}$ ) = $\vec{M K}$ + $\vec{M P}$ + $\vec{M I}$ + $\vec{M S}$ + $\vec{M N}$ + $\vec{M Q}$

= ( $\vec{M N}$ + $\vec{M I}$ ) + ( $\vec{M K}$ + $\vec{M Q}$ ) + ( $\vec{M P}$ + $\vec{M Q}$ )

= $\vec{M A}$ + $\vec{M B}$ + $\vec{M C}$ (quy tắc hình bình hành)

= $3 \vec{M O}$ (vì O là trọng tâm $Δ$ ABC)

$\Rightarrow$ $\vec{M D}$ + $\vec{M E}$ + $\vec{M F}$ = $\frac{3}{2}$ $\vec{M O}$ (đpcm)