a) Xét tam giác BEC và CDB ta có:
BE = CD (gt)
BC chung
$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$
Suy ra $\Delta BEC=\Delta CDB$ (c.g.c) suy ra $\widehat{ECB}=\widehat{DBC}$.
Do đó tam giác GBC cân tại G.
Mà M là trung điểm của BC suy ra GM là tia phân giác góc BGC.
$\widehat{BGM}=\widehat{AGD},\widehat{MGC}=\widehat{EGA}$ suy ra $\widehat{AGD}=\widehat{EGA}$
do đó GA là tia phân giác của góc EGD.
Xét tam giác AME và AMD ta có:
AM chung
AE = AD
$\widehat{EAM}=\widehat{DAM}$
Suy ra $\Delta AME=\Delta AMD$ (c.g.c) suy ra $\widehat{AME}=\widehat{AMD}$
Do đó MA là tia phân giác của góc EMD.
b) Hai tam giác ABC và AED cân tại A suy ra
$\widehat{AED}=\widehat{ABC}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}$
Do đó ED // BC. Suy ra: $\widehat{DEC}=\widehat{GCM}$ (1)
Để EG là tia phân giác của góc DEM thì $\widehat{DEG}=\widehat{GEM}$ (2)
Từ (1) và (2), ta có $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$, suy ra ME = MC.
Mặt khác, MB = MC nên ME = MB = MC, do đó tam giác BEC vuông tại E.
Do CE vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác CAB cân tại C.
Ta có CA = CB và AB = AC, suy ra tam giác ABC là tam giác đều.
Dễ thấy nếu tam giác ABC là tam giác đều thì EG là tia phân giác của góc DEM.
Vậy điều kiện để EG là tia phân giác của góc DEM là tam giác ABC là tam giác đều.