Giải bài 7.36 bài tập cuối chương VII

a. A₁ thuộc trục hoành nên y = 0 $\Rightarrow$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$

$\iff$ x² = a².

Do hoành độ của  A₁ nhỏ hơn hoành độ của A₂ nên A₁(-a; 0) và A₂(a; 0) 

b. Ta chứng minh: x² $\ge$ a²

Giả sử: x² $\ge$ a²

$\iff \frac{x^2}{a^2}\ge 1$ (luôn đúng)

Luôn đúng vì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\iff \frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$

• Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung thì x < 0 mà x² $\ge$ a² nên x $\le$ -a.
• Nếu  M thuộc nhánh bên phải trục tung thì x > 0 mà x² $\ge$ a² nên x $\ge$ a.

c. Gọi M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái nên x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải nên x₂ > 0

Theo b ta có: x₁ $\le$ -a và x₂ $\ge$ a nên |x₁| + |x₂| $\ge$ a + a = 2a.

Do x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ - x₁ = |x₂| + |x₁| $\ge$ a + a = 2a.

Ta có:  M₁M₂ = $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Lại có: $(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2\ge {(|x_2|+|x_1|)}^2+0\ge (2a{)}^2$

Nên  M₁M₂ $\ge$ A₁A₂

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Vậy để M₁M₂ nhỏ nhất thì M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.