Chứng tỏ rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.

Như vậy, $\sqrt{2}$ có thể viết được dưới dạng $\frac{m}{n}$ với m, n $\in$ N và (m, n) = 1.

Ta có $\sqrt{2}$ = $\frac{m}{n}$ nên $(\sqrt{2})^{2}$ = $(\frac{m}{n})^{2}$ hay 2 = $\frac{m^{2}}{n^{2}}$ . Suy ra $m^{2} = 2 n^{2}$ .

Mà (m, n) = 1 nên $m^{2}$ chia hết cho 2 hay m chia hết cho 2. Do đó m = 2k với k $\in$ N và (k, n) = 1.

Thay m = 2k vào $m^{2} = 2 n^{2}$ ta được $4 k^{2} = 2 n^{2}$ hay $n^{2} = 2 k^{2}$

Do (k, n) = 1 nên $n^{2}$ chia hết cho 2 hay n chia hết hết cho 2.

Suy ra m và n đều chia hết cho 2 mâu thuẫn với (m, n) = 1

Vậy $\sqrt{2}$ không là số hữu tỉ mà là số vô tỉ.

Chứng tỏ rằng 2 là số vô tỉ.