Giải bài 25 Nhị thức Newton

Hoạt động 1: Hãy xây dựng sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:

• Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H.8.6);
• Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
• Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhã̉n của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d)

Hướng dẫn giải:

Tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + c.d

Khai triển của tích (a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + c.d

Vậy tổng của các tích nhận được bằng với khai triển của tích (a+b).(c+d)

Hoạt động 2: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a +b).(a +b).(a +b)

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a³, a²b, ab², b³?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)³.

Hướng dẫn giải:

• Có 1 tích bằng a³, có 3 tích bằng a²b, có 3 tích bằng ab², có 1 tích bằng b³.
• Khai triển (a + b)³ = a³+ a²b + ab² + b³

$\Rightarrow$ Vậy hệ số của khai triển đúng bằng hệ số các tích nhận được.

Hoạt động 3: Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển (a + b)⁴ được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm 2⁴ (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x.y.z.t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a.a.b.a, thu gọn là a³b. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với ³b trong tổng là $C_{4}^{1}$.

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hã̃y cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:

• a⁴
• a³b
• a²b²
• ab³
• b⁴

Hướng dẫn giải:

• Để có đơn thức a⁴ thì phải có 4 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{4}^{4}$ =1, hay có 1 đơn thức a⁴.
• Để có đơn thức a³b thì phải có 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{4}^{1}$ =4.
• Để có đơn thức a²b² thì có 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{4}^{2}$ = 6
• Để có đơn thức ab³ thì có 1 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{4}^{3}$ = 4.
• Để có đơn thức b⁴ thì phải có 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{4}^{4}$ =1, hay có 1 đơn thức b⁴.

Luyện tập 1: Khai triển (x - 2)⁴.

Hướng dẫn giải:

(x - 2)⁴ = x⁴ + 4x^3.(-2) + 6x².(-2)² + 4x.(-2)³ + (-2)⁴ = x⁴ - 8x³ + 24x² +32x +16

Hoạt đông 4: Tương tự như Hoạt động 3, sau khi khai triển (a + b)⁵, ta thu được một tổng gồm 2⁵ đơn thức có dạng x.y.z.t.u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a.b.a.b.b, thu gọn là a²b³. Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, x, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với a²b³ trong tổng là $C_{5}^{3}$.

Lập luận tương tự như trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết, trong tổng nhận được nêu trên có bao nhiêu đơn thứ c đồng dạng với mổi đơn thức thu gọn sau:

• a⁵ 
• a⁴b
• a³b
• a²b³
• ab⁴
• b⁵

Hướng dẫn giải:

• Để có đơn thức a⁵ thì phải có 5 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{5}$ =1, hay có 1 đơn thức a⁵.
• Để có đơn thức a⁴b thì phải có 4 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{1}$ = 5.
• Để có đơn thức a³b² thì phải có 3 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{2}$ = 10.
• Để có đơn thức a²b³ thì phải có 2 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{3}$ = 10.
• Để có đơn thức ab⁴ thì phải có 1 nhân tử a, 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{4}$ = 5.
• Để có đơn thức b⁵ thì phải có 5 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{5}$ = 1.

Luyện tập 2: Khai triển (3x - 2)⁵

Hướng dẫn giải:

(3x - 2)⁵ = (3x)⁵ + 5(3x)⁴.(-2) + 10.(3x)³.(-2)² + 10.(3x)².(-2)³ + 5(3x).(-2)⁴ + (-2)⁵

= 243x⁵ - 810x⁴ + 1080x³ - 720x² + 240x -32.

Vận dụng:

a. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)⁴ để tính giá trị gần đúng của 1,05⁴.

b. Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,05⁴ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Hướng dẫn giải:

a. Khai triển: (1 + 0,05)⁴ = 1⁴ + 4.1³.0,05 + 6.1².0,05² + 4.1.0,05³ + 0,05⁴.

1,05⁴ $\approx $ 1⁴ + 4.1³.0,05 = 1,2

b. 1,05⁴ = 1,1025

Ta có: |1,1025 - 1,2| < 0,1

Sai số tuyệt đối là 0,1.